設函數y=f(x)的定義域為Du，值域為Mu，函數u=g(x)的定義域為Dx，值域為Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么對于Mx∩Du內的任意一個x經過u;有唯一確定的y值與之對應，則變量x與y之間通過變量u形成的一種函數關系，這種函數稱為復合函數(composite function)，記為：y=f[g(x)]，其中x稱為自變量，u為中間變量，y為因變量(即函數)。

判斷復合函數的單調性的步驟如下：

  1.求復合函數的定義域;

  2.將復合函數分解為若干個常見函數(一次、二次、冪、指、對函數);

  3.判斷每個常見函數的單調性;

  4.將中間變量的取值范圍轉化為自變量的取值范圍;

  5.求出復合函數的單調性。

例如：

  求:函數f(x)=(3x+2)^3+3的導數

  設u=g(x)=3x+2

  f(u)=u^3+3復合函數的導數 

  f'(u)=3u^2=3(3x+2)^2

  不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數，只有當Mx∩Du≠Ø時，二者才可以構成一個復合函數。

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